Hoe om 'n parabool te teken: 13 stappe (met foto's)

INHOUDSOPGAWE:

Hoe om 'n parabool te teken: 13 stappe (met foto's)
Hoe om 'n parabool te teken: 13 stappe (met foto's)
Anonim

'N Parabool is 'n grafiek van 'n kwadratiese funksie en dit is 'n gladde U -vormige kromme. Parabolas is ook simmetries, wat beteken dat hulle langs 'n lyn gevou kan word sodat al die punte aan die een kant van die voulyn saamval met die ooreenstemmende punte aan die ander kant van die voulyn. Die voulyn, die simmetrie -as genoem, is die vertikale lyn wat deur die verex gaan. Enige punt op die parabool is ewe ver van 'n vaste punt (die fokus) en 'n vaste reguitlyn (die directrix). Om 'n parabool te teken, moet u die hoekpunt sowel as verskeie punte aan weerskante van die hoekpunt vind om die pad wat die punte beweeg, te merk.

Stappe

Deel 1 van 2: Skets 'n parabool

Skets 'n Parabool Stap 1
Skets 'n Parabool Stap 1

Stap 1. Verstaan die dele van 'n parabool

U kan sekere inligting kry voordat u begin, en as u die terminologie ken, kan u onnodige stappe vermy. Hier is die dele van die parabool wat u moet ken:

  • Die fokus. 'N Vaste punt aan die binnekant van die parabool wat gebruik word vir die formele definisie van die kromme.
  • Die directrix. 'N Vaste, reguit lyn. Die parabool is die lokus (reeks) van punte waarin 'n gegewe punt op dieselfde afstand van die fokus en die directrix is. (Sien die diagram hierbo.)
  • Die simmetriese as. Dit is 'n reguit lyn wat deur die draaipunt ("hoekpunt") van die parabool loop en op dieselfde afstand van ooreenstemmende punte op die twee arms van die parabool is.
  • Die hoekpunt. Die punt waar die simmetrie -as die parabool kruis, word die hoekpunt van die parabool genoem. As die parabool opwaarts of regs oopmaak, is die hoekpunt 'n minimum punt van die kromme. As dit afwaarts of links oopmaak, is die hoekpunt 'n maksimum punt.
Skets 'n Parabool Stap 2
Skets 'n Parabool Stap 2

Stap 2. Ken die vergelyking van 'n parabool

Die algemene vergelyking van 'n parabool is y = ax2+ bx + c. Dit kan ook in die nog meer algemene vorm y = a (x - h) ² + k geskryf word, maar ons fokus hier op die eerste vorm van die vergelyking.

  • As die koëffisiënt a in die vergelyking positief is, maak die parabool opwaarts oop (in 'n vertikaal georiënteerde parabool), soos die letter "U", en die hoekpunt daarvan is 'n minimum punt. As die a negatief is, maak die parabool afwaarts oop en het 'n hoekpunt op sy maksimum punt. As u probleme ondervind om dit te onthou, dink daaraan: 'n vergelyking met 'n positiewe waarde lyk soos 'n glimlag; 'n vergelyking met 'n negatiewe waarde lyk soos 'n frons.
  • Gestel jy het die volgende vergelyking: y = 2x2 -1. Hierdie parabool sal soos 'n "U" gevorm word omdat die a -waarde (2) positief is.
  • As die vergelyking 'n kwadraat y -term in plaas van 'n kwadraat x -term het, sal die parabool horisontaal gerig wees en sywaarts oopmaak, regs of links, soos 'n "C" of 'n agteruit "C." Byvoorbeeld, die parabool y2 = x + 3 maak regs oop, soos 'n "C."
Skets 'n Parabool Stap 3
Skets 'n Parabool Stap 3

Stap 3. Vind die simmetrie -as

Onthou dat die simmetriese as die reguit lyn is wat deur die draaipunt (hoekpunt) van die parabool gaan. In die geval van 'n vertikale parabel (oop of af), is die as dieselfde as die x-koördinaat van die hoekpunt, wat die x-waarde is van die punt waar die simmetrie-as die parabool kruis. Gebruik die formule om die simmetrie -as te vind: x = -b/2a.

  • In die voorbeeld hierbo (y = 2x² -1), a = 2 en b = 0. Nou kan u die simmetrie -as bereken deur die getalle in te sluit: x = -0 / (2) (2) = 0.
  • In hierdie geval is die simmetrie-as x = 0 (wat die y-as van die koördinaatvlak is).
Skets 'n Parabool Stap 4
Skets 'n Parabool Stap 4

Stap 4. Vind die hoekpunt

Sodra u die simmetrie -as ken, kan u die waarde inskakel vir x om die y -koördinaat te kry. Hierdie twee koördinate gee u die hoekpunt van die parabool. In hierdie geval, sal u 0 by 2x aansluit2 -1 om die y -koördinaat te kry. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Die hoekpunt is (0, -1), en die parabool kruis die y -as by -1.

Die koördinate van die hoekpunt staan soms bekend as (h, k). In hierdie geval is h 0, en k is -1. Die vergelyking vir die parabool kan in die vorm y = a (x - h) ² + k geskryf word. In hierdie vorm is die hoekpunt die punt (h, k), en u hoef geen wiskunde te doen om die hoekpunt te vind as om die grafiek korrek te interpreteer nie

Skets 'n Parabool Stap 5
Skets 'n Parabool Stap 5

Stap 5. Stel 'n tabel op met gekose waardes van x

Skep 'n tabel met spesifieke waardes van x in die eerste kolom. Hierdie tabel gee u die koördinate wat u benodig om die vergelyking te teken.

  • Die middelwaarde van x moet die simmetrie -as wees in die geval van 'n "vertikale" parabel.
  • Ter wille van simmetrie moet u ten minste twee waardes bo en onder die middelwaarde vir x in die tabel insluit.
  • In hierdie voorbeeld, plaas die waarde van die simmetrie -as (x = 0) in die middel van die tabel.
Skets 'n Parabool Stap 6
Skets 'n Parabool Stap 6

Stap 6. Bereken die waardes van ooreenstemmende y-koördinate

Vervang elke waarde van x in die vergelyking van die parabool en bereken die ooreenstemmende waardes van y. Voeg hierdie berekende waardes van y in die tabel in. In hierdie voorbeeld word die waardes van y soos volg bereken:

  • Vir x = -2 word y bereken as: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
  • Vir x = -1 word y bereken as: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
  • Vir x = 0 word y bereken as: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
  • Vir x = 1 word y bereken as: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
  • Vir x = 2 word y bereken as: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Skets 'n Parabool Stap 7
Skets 'n Parabool Stap 7

Stap 7. Voeg die berekende waardes van y in die tabel in

Noudat u ten minste vyf koördinaatpare vir die parabool gevind het, is u amper gereed om dit te teken. Op grond van u werk het u nou die volgende punte: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Onthou dat die parabool weerspieël word (simmetries) ten opsigte van die simmetrie -as. Dit beteken dat die y -koördinate van punte direk oor die simmetrie -as van mekaar dieselfde is. Die y-koördinate vir die x-koördinate -2 en +2 is beide 7; die y-koördinate vir die x-koördinate -1 en +1 is beide 1, ensovoorts.

Skets 'n Parabool Stap 8
Skets 'n Parabool Stap 8

Stap 8. Teken die tabelpunte op die koördinaatvlak

Elke ry van die tabel vorm 'n koördinaatpaar (x, y) op die koördinaatvlak. Teken alle punte met behulp van die koördinate in die tabel.

  • Die x-as is horisontaal; die y-as is vertikaal.
  • Die positiewe getalle op die y-as is bo die punt (0, 0), en die negatiewe getalle op die y-as is onder die punt (0, 0).
  • Die positiewe getalle op die x-as is regs van die punt (0, 0), en die negatiewe getalle op die x-as is links van die punt (0, 0).
Skets 'n Parabool Stap 9
Skets 'n Parabool Stap 9

Stap 9. Verbind die punte

Om die parabool te teken, verbind die punte wat in die vorige stap uiteengesit is. Die grafiek in hierdie voorbeeld sal soos 'n U lyk. Verbind die punte met effens geboë (eerder as reguit) lyne. Dit sal die akkuraatste beeld van die parabool skep (wat ten minste effens in sy lengte geboë is). Aan albei kante van die parabool kan u pyle teken wat van die hoek af wegwys as u wil. Dit sal aandui dat die parabool onbepaald voortduur.

Deel 2 van 2: Die grafiek van 'n parabool verskuif

As u 'n kortpad vir die verskuiwing van 'n parabool wil hê sonder om weer die hoekpunt daarvan te vind en verskeie punte daarop weer in te teken, moet u verstaan hoe u die vergelyking van 'n parabool moet lees en leer om dit vertikaal of horisontaal te skuif. Begin met die basiese parabool: y = x2. Dit het sy hoekpunt by (0, 0) en maak opwaarts oop. Punte daarop bevat (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) en (2, 4). U kan 'n parabool verskuif op grond van die vergelyking daarvan.

Skets 'n Parabool Stap 10
Skets 'n Parabool Stap 10

Stap 1. Skuif 'n parabool opwaarts

Beskou die vergelyking y = x2 +1. Dit skuif die oorspronklike parabel 1 eenheid opwaarts. Die hoekpunt is nou (0, 1) in plaas van (0, 0). Dit behou die presiese vorm van die oorspronklike parabool, maar elke y-koördinaat sal 1 eenheid opwaarts geskuif word. Dus, in plaas van (-1, 1) en (1, 1), teken ons (-1, 2) en (1, 2).

Skets 'n Parabool Stap 11
Skets 'n Parabool Stap 11

Stap 2. Skuif 'n parabool afwaarts

Neem die vergelyking y = x2 -1. Ons skuif die oorspronklike parabool 1 eenheid afwaarts, sodat die hoekpunt nou (0, -1) is in plaas van (0, 0). Dit sal steeds dieselfde vorm hê as die oorspronklike parabool, maar elke y-koördinaat sal 1 eenheid afwaarts verskuif word. Dus, in plaas van (-1, 1) en (1, 1), teken ons byvoorbeeld (-1, 0) en (1, 0).

Skets 'n Parabool Stap 12
Skets 'n Parabool Stap 12

Stap 3. Skuif 'n parabool na links

Beskou die vergelyking y = (x + 1)2. Dit skuif die oorspronklike parabel een eenheid na links. Die hoekpunt is nou (-1, 0) in plaas van (0, 0). Dit behou die vorm van die oorspronklike parabool, maar elke x-koördinaat word een eenheid na links verskuif. In plaas van (-1, 1) en (1, 1), teken ons byvoorbeeld (-2, 1) en (0, 1).

Skets 'n Parabool Stap 13
Skets 'n Parabool Stap 13

Stap 4. Skuif 'n parabel na regs

Beskou die vergelyking y = (x - 1)2. Dit is die oorspronklike parabel wat een eenheid na regs geskuif het. Die hoekpunt is nou (1, 0) in plaas van (0, 0). Dit behou die vorm van die oorspronklike parabel, maar elke x-koördinaat sal na die regte eenheid verskuif word. In plaas van (-1, 1) en (1, 1), teken ons byvoorbeeld (0, 1) en (2, 1).

Aanbeveel: